Résoudre 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Évaluer

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Résumé des étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de n et n+1 est n\left(n+1\right). Multiplier \frac{1}{n} par \frac{n+1}{n+1}. Multiplier \frac{1}{n+1} par \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Étant donné que \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} et \frac{n}{n\left(n+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Combiner des termes semblables dans n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Étendre n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Différencier w.r.t. n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Étapes d’utilisation de la règle de dérivation en chaîne

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de n et n+1 est n\left(n+1\right). Multiplier \frac{1}{n} par \frac{n+1}{n+1}. Multiplier \frac{1}{n+1} par \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Étant donné que \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} et \frac{n}{n\left(n+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Combiner des termes semblables dans n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Utiliser la distributivité pour multiplier n par n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Si F est la composition de deux fonctions dérivables f\left(u\right) et u=g\left(x\right), c’est-à-dire, si F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), puis la dérivée de F est la dérivée de f par rapport à u fois la dérivée de g par rapport à x, c’est-à-dire, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de ses termes. La dérivée d’un terme constant est 0. La dérivée de ax^{n} est nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Simplifier.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Pour n’importe quel terme t, t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Pour n’importe quel terme t à l’exception de 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$