Résoudre (x-2)/(x-3)-(x-4)/(x-5)=10/3

$$\frac { ( x - 2 ) } { ( x - 3 ) } - \frac { ( x - 4 ) } { ( x - 5 ) } = \frac { 10 } { 3 }$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4\approx 4,632455532$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4\approx 3,367544468$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 3,5 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 3\left(x-5\right)\left(x-3\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-5,3.

$$\left(3x-15\right)\left(x-2\right)-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-15 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-9 par x-4 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x^{2}-21x+36\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Pour trouver l’opposé de 3x^{2}-21x+36, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$3x^{2}-21x+30-3x^{2}+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Combiner 3x^{2} et -3x^{2} pour obtenir 0.

$$-21x+30+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Combiner -21x et 21x pour obtenir 0.

$$30-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Soustraire 36 de 30 pour obtenir -6.

$$-6=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 10 par x-5.

$$-6=\left(10x-50\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 10x-50 par x-3 et combiner les termes semblables.

$$-6=10x^{2}-80x+150$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$10x^{2}-80x+150=-6$$

Ajouter 6 aux deux côtés.

$$10x^{2}-80x+150+6=0$$

Additionner 150 et 6 pour obtenir 156.

$$10x^{2}-80x+156=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 10 à a, -80 à b et 156 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 10\times 156}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 10\times 156}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-40\times 156}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par 156.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6240}}{2\times 10}$$

Additionner 6400 et -6240.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{160}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 160.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±4\sqrt{10}}{2\times 10}$$

L’inverse de -80 est 80.

$$x=\frac{80±4\sqrt{10}}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20} lorsque ± est positif. Additionner 80 et 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+80}{20}$$

Diviser 80+4\sqrt{10} par 20.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{10} à 80.

$$x=\frac{80-4\sqrt{10}}{20}$$

Diviser 80-4\sqrt{10} par 20.

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4 x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 3,5 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 3\left(x-5\right)\left(x-3\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-5,3.

$$\left(3x-15\right)\left(x-2\right)-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-15 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-9 par x-4 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x^{2}-21x+36\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Pour trouver l’opposé de 3x^{2}-21x+36, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$3x^{2}-21x+30-3x^{2}+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Combiner 3x^{2} et -3x^{2} pour obtenir 0.

$$-21x+30+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Combiner -21x et 21x pour obtenir 0.

$$30-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Soustraire 36 de 30 pour obtenir -6.

$$-6=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 10 par x-5.

$$-6=\left(10x-50\right)\left(x-3\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 10x-50 par x-3 et combiner les termes semblables.

$$-6=10x^{2}-80x+150$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$10x^{2}-80x+150=-6$$

Soustraire 150 des deux côtés.

$$10x^{2}-80x=-6-150$$

Soustraire 150 de -6 pour obtenir -156.

$$10x^{2}-80x=-156$$

Divisez les deux côtés par 10.

$$\frac{10x^{2}-80x}{10}=-\frac{156}{10}$$

La division par 10 annule la multiplication par 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{10}\right)x=-\frac{156}{10}$$

Diviser -80 par 10.

$$x^{2}-8x=-\frac{156}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-156}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-8x=-\frac{78}{5}$$

Divisez -8, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -4. Ajouter ensuite le carré de -4 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{78}{5}+\left(-4\right)^{2}$$

Calculer le carré de -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{78}{5}+16$$

Additionner -\frac{78}{5} et 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{2}{5}$$

Factor x^{2}-8x+16. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{2}{5}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}$$

Simplifier.

$$x-4=\frac{\sqrt{10}}{5} x-4=-\frac{\sqrt{10}}{5}$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4 x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$