Résoudre frac{sqrt{10}+sqrt{15}}{sqrt{2}+sqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 10 } + \sqrt { 15 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } }$$

Évaluer

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

Considérer \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer le carré de \sqrt{2}. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}$$

Soustraire 3 de 2 pour obtenir -1.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{-1}$$

Si on divise un nombre par -1, on obtient son inverse.

$$-\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de \sqrt{10}+\sqrt{15} par chaque terme de \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$-\left(\sqrt{10}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Factoriser 10=2\times 5. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 5} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$-\left(\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Pour multiplier \sqrt{10} et \sqrt{3}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Pour multiplier \sqrt{15} et \sqrt{2}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{30}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Combiner -\sqrt{30} et \sqrt{30} pour obtenir 0.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Factoriser 15=3\times 5. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{3\times 5} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\right)$$

Multiplier \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 3.

$$-\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)$$

Combiner 2\sqrt{5} et -3\sqrt{5} pour obtenir -\sqrt{5}.

$$-\left(-\sqrt{5}\right)$$

L’inverse de -\sqrt{5} est \sqrt{5}.

$$\sqrt{5}$$