Résoudre [1/a-1+1/a-2-1/(1-a)(a-2)]*[1/a-1-frac{1}{2-a}+frac{1}{(1-a)(a-2)}]*(a^2-3a+2)

$$[ \frac { 1 } { a - 1 } + \frac { 1 } { a - 2 } - \frac { 1 } { ( 1 - a ) ( a - 2 ) } ] \cdot [ \frac { 1 } { a - 1 } - \frac { 1 } { 2 - a } + \frac { 1 } { ( 1 - a ) ( a - 2 ) } ] \cdot ( a ^ { 2 } - 3 a + 2 )$$

Évaluer

$$4$$

Résumé des étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de a-1 et a-2 est \left(a-2\right)\left(a-1\right). Multiplier \frac{1}{a-1} par \frac{a-2}{a-2}. Multiplier \frac{1}{a-2} par \frac{a-1}{a-1}.

$$\left(\frac{a-2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}+\frac{a-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}-\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Étant donné que \frac{a-2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} et \frac{a-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\left(\frac{a-2+a-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}-\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Combiner des termes semblables dans a-2+a-1.

$$\left(\frac{2a-3}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}-\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de \left(a-2\right)\left(a-1\right) et \left(1-a\right)\left(a-2\right) est \left(a-2\right)\left(a-1\right). Multiplier \frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)} par \frac{-1}{-1}.

$$\left(\frac{2a-3}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}-\frac{-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\right)\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Étant donné que \frac{2a-3}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} et \frac{-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{2a-3-\left(-1\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Effectuez les multiplications dans 2a-3-\left(-1\right).

$$\frac{2a-3+1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Combiner des termes semblables dans 2a-3+1.

$$\frac{2a-2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{2a-2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}.

$$\frac{2\left(a-1\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Annuler a-1 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{2-a}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de a-1 et 2-a est \left(a-1\right)\left(-a+2\right). Multiplier \frac{1}{a-1} par \frac{-a+2}{-a+2}. Multiplier \frac{1}{2-a} par \frac{a-1}{a-1}.

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{-a+2}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)}-\frac{a-1}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Étant donné que \frac{-a+2}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)} et \frac{a-1}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{-a+2-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Effectuez les multiplications dans -a+2-\left(a-1\right).

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{-a+2-a+1}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Combiner des termes semblables dans -a+2-a+1.

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{-2a+3}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)}+\frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de \left(a-1\right)\left(-a+2\right) et \left(1-a\right)\left(a-2\right) est \left(a-2\right)\left(a-1\right). Multiplier \frac{-2a+3}{\left(a-1\right)\left(-a+2\right)} par \frac{-1}{-1}. Multiplier \frac{1}{\left(1-a\right)\left(a-2\right)} par \frac{-1}{-1}.

$$\frac{2}{a-2}\left(\frac{-\left(-2a+3\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}+\frac{-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\right)\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Étant donné que \frac{-\left(-2a+3\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} et \frac{-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{2}{a-2}\times \frac{-\left(-2a+3\right)-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Effectuez les multiplications dans -\left(-2a+3\right)-1.

$$\frac{2}{a-2}\times \frac{2a-3-1}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Combiner des termes semblables dans 2a-3-1.

$$\frac{2}{a-2}\times \frac{2a-4}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{2a-4}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}.

$$\frac{2}{a-2}\times \frac{2\left(a-2\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Annuler a-2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{2}{a-2}\times \frac{2}{a-1}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Multiplier \frac{2}{a-2} par \frac{2}{a-1} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\frac{2\times 2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right)$$

Exprimer \frac{2\times 2}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\left(a^{2}-3a+2\right) sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{2\times 2\left(a^{2}-3a+2\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}$$

Multiplier 2 et 2 pour obtenir 4.

$$\frac{4\left(a^{2}-3a+2\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées.

$$\frac{4\left(a-2\right)\left(a-1\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}$$

Annuler \left(a-2\right)\left(a-1\right) dans le numérateur et le dénominateur.

$$4$$

Factoriser

$$2^{2}$$