Lutasin ang y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

I-solve ang y

$$y=6$$

$$y=36$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang y^{2}-42y+216 gamit ang formula na y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-42 ab=216$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -42.

$$a=-36 b=-6$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(y+a\right)\left(y+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-36=0 at y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang y^{2}+ay+by+216. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -42.

$$a=-36 b=-6$$

I-rewrite ang y^{2}-42y+216 bilang \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

I-factor out ang y sa unang grupo at ang -6 sa pangalawang grupo.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

I-factor out ang common term na y-36 gamit ang distributive property.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-36=0 at y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -42 para sa b, at 216 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

I-square ang -42.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Idagdag ang 1764 sa -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Kunin ang square root ng 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -42 ay 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{42±30}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 42 sa 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

I-divide ang 72 gamit ang 2.

$$y=36$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{42±30}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 30 mula sa 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

I-divide ang 12 gamit ang 2.

$$y=6$$

Nalutas na ang equation.

$$y=36 y=6$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-42y+216=0$$

I-subtract ang 216 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Kapag na-subtract ang 216 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

I-divide ang -42, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -21. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -21 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

I-square ang -21.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Idagdag ang -216 sa 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

I-factor ang y^{2}-42y+441. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Pasimplehin.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=36 y=6$$