Lutasin ang x-1=y,2x-y=5

$$x - 1 = y , 2 x - y = 5$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-1-y=0$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-y=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=1,2x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=1$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+1$$

I-substitute ang y+1 para sa x sa kabilang equation na 2x-y=5.

$$2\left(y+1\right)-y=5$$

I-multiply ang 2 times y+1.

$$2y+2-y=5$$

Idagdag ang 2y sa -y.

$$y+2=5$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3+1$$

Idagdag ang 1 sa 3.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-1-y=0$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-y=1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=1,2x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+5\\-2+5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-1-y=0$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-y=1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=1,2x-y=5$$

I-subtract ang 2x-y=5 mula sa x-y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-2x-y+y=1-5$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x-2x=1-5$$

Idagdag ang x sa -2x.

$$-x=1-5$$

Idagdag ang 1 sa -5.

$$-x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa 2x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\times 4-y=5$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$8-y=5$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=3$$