Lutasin ang 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 9x^{2}+ax+bx+4. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -12.

$$a=-6 b=-6$$

I-rewrite ang 9x^{2}-12x+4 bilang \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang -2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-2 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 9 para sa a, -12 para sa b, at 4 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

I-square ang -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -4 times 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -36 times 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Idagdag ang 144 sa -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Ang kabaliktaran ng -12 ay 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

I-multiply ang 2 times 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Kapag na-subtract ang 4 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Kapag na-divide gamit ang 9, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Bawasan ang fraction \frac{-12}{9} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

I-divide ang -\frac{4}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{2}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{2}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Idagdag ang -\frac{4}{9} sa \frac{4}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

I-factor ang x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=\frac{2}{3}$$