Lutasin ang 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

I-solve ang n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 7n^{2}+an+bn-18. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 39.

$$a=-3 b=42$$

I-rewrite ang 7n^{2}+39n-18 bilang \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

I-factor out ang n sa unang grupo at ang 6 sa pangalawang grupo.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

I-factor out ang common term na 7n-3 gamit ang distributive property.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 7n-3=0 at n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 7 para sa a, 39 para sa b, at -18 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

I-square ang 39.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -4 times 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -28 times -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Idagdag ang 1521 sa 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Kunin ang square root ng 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

I-multiply ang 2 times 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-39±45}{14} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -39 sa 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{14} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-39±45}{14} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 45 mula sa -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

I-divide ang -84 gamit ang 14.

$$n=-6$$

Nalutas na ang equation.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kapag na-subtract ang -18 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

I-subtract ang -18 mula sa 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Kapag na-divide gamit ang 7, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

I-divide ang \frac{39}{7}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{39}{14}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{39}{14} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{39}{14} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Idagdag ang \frac{18}{7} sa \frac{1521}{196} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

I-factor ang n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Pasimplehin.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

I-subtract ang \frac{39}{14} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$