Lutasin ang 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx-7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 19.

$$a=-2 b=21$$

I-rewrite ang 6x^{2}+19x-7 bilang \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-1=0 at 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, 19 para sa b, at -7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

I-square ang 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 361 sa 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-19±23}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -19 sa 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{4}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-19±23}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 23 mula sa -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-42}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kapag na-subtract ang -7 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

I-subtract ang -7 mula sa 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

I-divide ang \frac{19}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{19}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{19}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{19}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Idagdag ang \frac{7}{6} sa \frac{361}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

I-subtract ang \frac{19}{12} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$