Lutasin ang 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

I-solve ang t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 5 para sa a, -72 para sa b, at -108 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

I-square ang -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -4 times 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -20 times -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Idagdag ang 5184 sa 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Kunin ang square root ng 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Ang kabaliktaran ng -72 ay 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

I-multiply ang 2 times 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 72 sa 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

I-divide ang 72+12\sqrt{51} gamit ang 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 12\sqrt{51} mula sa 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

I-divide ang 72-12\sqrt{51} gamit ang 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Idagdag ang 108 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Kapag na-subtract ang -108 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

I-subtract ang -108 mula sa 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Kapag na-divide gamit ang 5, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

I-divide ang -\frac{72}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{36}{5}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{36}{5} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{36}{5} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Idagdag ang \frac{108}{5} sa \frac{1296}{25} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

I-factor ang t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Pasimplehin.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Idagdag ang \frac{36}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$