Lutasin ang 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-5. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -8.

$$a=-10 b=2$$

I-rewrite ang 4x^{2}-8x-5 bilang \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Ï-factor out ang 2x sa 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

I-factor out ang common term na 2x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-5=0 at 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -8 para sa b, at -5 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 64 sa 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -8 ay 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{8±12}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 8 sa 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{20}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{8±12}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 12 mula sa 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kapag na-subtract ang -5 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

I-subtract ang -5 mula sa 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

I-divide ang -8 gamit ang 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

I-divide ang -2, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -1. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -1 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

I-factor ang x^{2}-2x+1. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$