Lutasin ang 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -5 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 25 sa 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -5 ay 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 5 sa \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang \sqrt{41} mula sa 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

I-divide ang -\frac{5}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{25}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Idagdag ang \frac{5}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$