Lutasin ang 4x^2-25=(2x-5)(7x+3)

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

I-solve ang x

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-5 sa 7x+3 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

I-subtract ang 14x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -14x^{2} para makuha ang -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Idagdag ang 29x sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Idagdag ang -25 at 15 para makuha ang -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -10x^{2}+ax+bx-10. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 29.

$$a=25 b=4$$

I-rewrite ang -10x^{2}+29x-10 bilang \left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right).

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

I-factor out ang -5x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-5=0 at -5x+2=0.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-5 sa 7x+3 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

I-subtract ang 14x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -14x^{2} para makuha ang -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Idagdag ang 29x sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Idagdag ang -25 at 15 para makuha ang -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -10 para sa a, 29 para sa b, at -10 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

I-square ang 29.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang -4 times -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang 40 times -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

Idagdag ang 841 sa -400.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang 2 times -10.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-29±21}{-20} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -29 sa 21.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

Bawasan ang fraction \frac{-8}{-20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-29±21}{-20} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa -29.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

Bawasan ang fraction \frac{-50}{-20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-5 sa 7x+3 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

I-subtract ang 14x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -14x^{2} para makuha ang -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Idagdag ang 29x sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Idagdag ang 25 sa parehong bahagi.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

Idagdag ang -15 at 25 para makuha ang 10.

$$-10x^{2}+29x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

Kapag na-divide gamit ang -10, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -10.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

I-divide ang 29 gamit ang -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

I-divide ang 10 gamit ang -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

I-divide ang -\frac{29}{10}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{29}{20}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{29}{20} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{29}{20} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

Idagdag ang -1 sa \frac{841}{400}.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Idagdag ang \frac{29}{20} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$