Lutasin ang 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

I-subtract ang 21 mula sa 1 para makuha ang -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx-10. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 1.

$$a=-4 b=5$$

I-rewrite ang 2x^{2}+x-10 bilang \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

I-factor out ang common term na x-2 gamit ang distributive property.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-2=0 at 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Kapag na-subtract ang 21 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

I-subtract ang 21 mula sa 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 2 para sa b, at -20 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 4 sa 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±18}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -2 sa 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

I-divide ang 16 gamit ang 8.

$$x=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±18}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 18 mula sa -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-20}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

I-divide ang 20 gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

I-divide ang \frac{1}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Idagdag ang 5 sa \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

I-subtract ang \frac{1}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$