Lutasin ang 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -12.

$$a=-14 b=2$$

I-rewrite ang 4x^{2}-12x-7 bilang \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Ï-factor out ang 2x sa 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

I-factor out ang common term na 2x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-7=0 at 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -12 para sa b, at -7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 144 sa 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -12 ay 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{12±16}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 12 sa 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{28}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{12±16}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 16 mula sa 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kapag na-subtract ang -7 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

I-subtract ang -7 mula sa 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

I-divide ang -12 gamit ang 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

I-divide ang -3, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Idagdag ang \frac{7}{4} sa \frac{9}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

I-factor ang x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$