Lutasin ang 4x^2+27x-40=0

$$4 { x }^{ 2 } +27x-40=0$$

I-solve ang x

$$x=-8$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-40. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=27 ab=4\left(-40\right)=-160$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -160.

$$-1,160 -2,80 -4,40 -5,32 -8,20 -10,16$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+160=159 -2+80=78 -4+40=36 -5+32=27 -8+20=12 -10+16=6$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 27.

$$a=-5 b=32$$

I-rewrite ang 4x^{2}+27x-40 bilang \left(4x^{2}-5x\right)+\left(32x-40\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(32x-40\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 8 sa pangalawang grupo.

$$x\left(4x-5\right)+8\left(4x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 4x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(4x-5\right)\left(x+8\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4x-5=0 at x+8=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}+27x-40=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 27 para sa b, at -40 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 27.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -40.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+640}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 729 sa 640.

$$x=\frac{-27±\sqrt{1369}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 1369.

$$x=\frac{-27±37}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{-27±37}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-27±37}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -27 sa 37.

$$x=\frac{10}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-27±37}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 37 mula sa -27.

$$x=-\frac{64}{8}$$

I-divide ang -64 gamit ang 8.

$$x=-8$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{4} x=-8$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+27x-40=0$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}+27x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Kapag na-subtract ang -40 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}+27x=-\left(-40\right)$$

I-subtract ang -40 mula sa 0.

$$4x^{2}+27x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}+27x}{4}=\frac{40}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x=\frac{40}{4}$$

I-divide ang 40 gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x=10$$

I-divide ang \frac{27}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{27}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{27}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}=10+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{27}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=10+\frac{729}{64}$$

Idagdag ang 10 sa \frac{729}{64}.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{1369}{64}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{1369}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{27}{8}=\frac{37}{8} x+\frac{27}{8}=-\frac{37}{8}$$

I-subtract ang \frac{27}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{4} x=-8$$