Lutasin ang 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 39x^{2}+ax+bx-9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 14.

$$a=-13 b=27$$

I-rewrite ang 39x^{2}+14x-9 bilang \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

I-factor out ang 13x sa unang grupo at ang 9 sa pangalawang grupo.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-1=0 at 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 39 para sa a, 14 para sa b, at -9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

I-square ang 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

I-multiply ang -4 times 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

I-multiply ang -156 times -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Idagdag ang 196 sa 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Kunin ang square root ng 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

I-multiply ang 2 times 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-14±40}{78} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -14 sa 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Bawasan ang fraction \frac{26}{78} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-14±40}{78} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 40 mula sa -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Bawasan ang fraction \frac{-54}{78} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kapag na-subtract ang -9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

I-subtract ang -9 mula sa 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Kapag na-divide gamit ang 39, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Bawasan ang fraction \frac{9}{39} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

I-divide ang \frac{14}{39}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{39}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{39} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{39} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Idagdag ang \frac{3}{13} sa \frac{49}{1521} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

I-subtract ang \frac{7}{39} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$