Lutasin ang 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 2 para sa b, at 1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

I-square ang 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 4 sa -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -2 sa 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

I-divide ang -2+2i\sqrt{2} gamit ang 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2i\sqrt{2} mula sa -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

I-divide ang -2-2i\sqrt{2} gamit ang 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

I-divide ang \frac{2}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{1}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

I-subtract ang \frac{1}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$