Lutasin ang 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

I-solve ang n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 1141 mula sa magkabilang dulo.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

I-subtract ang 1141 mula sa 1 para makuha ang -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang n^{2}+an+bn-380. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 1.

$$a=-19 b=20$$

I-rewrite ang n^{2}+n-380 bilang \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

I-factor out ang n sa unang grupo at ang 20 sa pangalawang grupo.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

I-factor out ang common term na n-19 gamit ang distributive property.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-19=0 at n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

I-subtract ang 1141 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Kapag na-subtract ang 1141 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

I-subtract ang 1141 mula sa 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 3 para sa b, at -1140 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 9 sa 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-3±117}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -3 sa 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

I-divide ang 114 gamit ang 6.

$$n=19$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-3±117}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 117 mula sa -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

I-divide ang -120 gamit ang 6.

$$n=-20$$

Nalutas na ang equation.

$$n=19 n=-20$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

I-divide ang 3 gamit ang 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

I-divide ang 1140 gamit ang 3.

$$n^{2}+n=380$$

I-divide ang 1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang 380 sa \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

I-factor ang n^{2}+n+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Pasimplehin.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=19 n=-20$$