Lutasin ang 3(5-z)^2=12

$$3 ( 5 - z ) ^ { 2 } = 12$$

I-solve ang z

$$z=3$$

$$z=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\left(5-z\right)^{2}=\frac{12}{3}$$

I-divide ang 12 gamit ang 3 para makuha ang 4.

$$\left(5-z\right)^{2}=4$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(5-z\right)^{2}.

$$25-10z+z^{2}=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$25-10z+z^{2}-4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa 25 para makuha ang 21.

$$21-10z+z^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$z^{2}-10z+21=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang z^{2}-10z+21 gamit ang formula na z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-10 ab=21$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -10.

$$a=-7 b=-3$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(z+a\right)\left(z+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(z-7\right)\left(z-3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang z-7=0 at z-3=0.

$$z=7 z=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\left(5-z\right)^{2}=\frac{12}{3}$$

I-divide ang 12 gamit ang 3 para makuha ang 4.

$$\left(5-z\right)^{2}=4$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(5-z\right)^{2}.

$$25-10z+z^{2}=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$25-10z+z^{2}-4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa 25 para makuha ang 21.

$$21-10z+z^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$z^{2}-10z+21=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang z^{2}+az+bz+21. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-10 ab=1\times 21=21$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -10.

$$a=-7 b=-3$$

I-rewrite ang z^{2}-10z+21 bilang \left(z^{2}-7z\right)+\left(-3z+21\right).

$$\left(z^{2}-7z\right)+\left(-3z+21\right)$$

I-factor out ang z sa unang grupo at ang -3 sa pangalawang grupo.

$$z\left(z-7\right)-3\left(z-7\right)$$

I-factor out ang common term na z-7 gamit ang distributive property.

$$\left(z-7\right)\left(z-3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang z-7=0 at z-3=0.

$$z=7 z=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\left(5-z\right)^{2}=\frac{12}{3}$$

I-divide ang 12 gamit ang 3 para makuha ang 4.

$$\left(5-z\right)^{2}=4$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(5-z\right)^{2}.

$$25-10z+z^{2}=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$25-10z+z^{2}-4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa 25 para makuha ang 21.

$$21-10z+z^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$z^{2}-10z+21=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -10 para sa b, at 21 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 21}}{2}$$

I-square ang -10.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 21.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-84}}{2}$$

Idagdag ang 100 sa -84.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Kunin ang square root ng 16.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±4}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -10 ay 10.

$$z=\frac{10±4}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na z=\frac{10±4}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 10 sa 4.

$$z=\frac{14}{2}$$

I-divide ang 14 gamit ang 2.

$$z=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na z=\frac{10±4}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4 mula sa 10.

$$z=\frac{6}{2}$$

I-divide ang 6 gamit ang 2.

$$z=3$$

Nalutas na ang equation.

$$z=7 z=3$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\left(5-z\right)^{2}=\frac{12}{3}$$

I-divide ang 12 gamit ang 3 para makuha ang 4.

$$\left(5-z\right)^{2}=4$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(5-z\right)^{2}.

$$25-10z+z^{2}=4$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo.

$$-10z+z^{2}=4-25$$

I-subtract ang 25 mula sa 4 para makuha ang -21.

$$-10z+z^{2}=-21$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-10z=-21$$

I-divide ang -10, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -5. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -5 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

I-square ang -5.

$$z^{2}-10z+25=-21+25$$

Idagdag ang -21 sa 25.

$$z^{2}-10z+25=4$$

I-factor ang z^{2}-10z+25. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=4$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pasimplehin.

$$z-5=2 z-5=-2$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$z=7 z=3$$