Lutasin ang 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

I-solve ang y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 25y^{2}+ay+by-63. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -54.

$$a=-75 b=21$$

I-rewrite ang 25y^{2}-54y-63 bilang \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

I-factor out ang 25y sa unang grupo at ang 21 sa pangalawang grupo.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

I-factor out ang common term na y-3 gamit ang distributive property.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-3=0 at 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 25 para sa a, -54 para sa b, at -63 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

I-square ang -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

I-multiply ang -4 times 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

I-multiply ang -100 times -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Idagdag ang 2916 sa 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Kunin ang square root ng 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Ang kabaliktaran ng -54 ay 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

I-multiply ang 2 times 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{54±96}{50} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 54 sa 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

I-divide ang 150 gamit ang 50.

$$y=3$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{54±96}{50} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 96 mula sa 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Bawasan ang fraction \frac{-42}{50} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Nalutas na ang equation.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Idagdag ang 63 sa magkabilang dulo ng equation.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Kapag na-subtract ang -63 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

I-subtract ang -63 mula sa 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Kapag na-divide gamit ang 25, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

I-divide ang -\frac{54}{25}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{27}{25}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{27}{25} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{27}{25} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Idagdag ang \frac{63}{25} sa \frac{729}{625} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

I-factor ang y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Pasimplehin.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Idagdag ang \frac{27}{25} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$