Lutasin ang 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

I-solve ang k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 12k^{2}+ak+bk+12. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 25.

$$a=9 b=16$$

I-rewrite ang 12k^{2}+25k+12 bilang \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

I-factor out ang 3k sa unang grupo at ang 4 sa pangalawang grupo.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

I-factor out ang common term na 4k+3 gamit ang distributive property.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4k+3=0 at 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 24 para sa a, 50 para sa b, at 24 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

I-square ang 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

I-multiply ang -4 times 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

I-multiply ang -96 times 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Idagdag ang 2500 sa -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Kunin ang square root ng 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

I-multiply ang 2 times 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-50±14}{48} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -50 sa 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Bawasan ang fraction \frac{-36}{48} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-50±14}{48} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 14 mula sa -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Bawasan ang fraction \frac{-64}{48} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Kapag na-subtract ang 24 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Kapag na-divide gamit ang 24, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Bawasan ang fraction \frac{50}{24} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

I-divide ang -24 gamit ang 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

I-divide ang \frac{25}{12}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{25}{24}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{25}{24} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{25}{24} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Idagdag ang -1 sa \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

I-factor ang k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Pasimplehin.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

I-subtract ang \frac{25}{24} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$