Lutasin ang 2019x^2=2020+[x]

$$2019 x ^ { 2 } = 2020 + [ x ]$$

I-solve ang x

$$x=-1$$

$$x = \frac{2020}{2019} = 1\frac{1}{2019} \approx 1.000495295$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 2020 mula sa magkabilang dulo.

$$2019x^{2}-2020=x$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2019x^{2}+ax+bx-2020. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=2019\left(-2020\right)=-4078380$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -4078380.

$$1,-4078380 2,-2039190 3,-1359460 4,-1019595 5,-815676 6,-679730 10,-407838 12,-339865 15,-271892 20,-203919 30,-135946 60,-67973 101,-40380 202,-20190 303,-13460 404,-10095 505,-8076 606,-6730 673,-6060 1010,-4038 1212,-3365 1346,-3030 1515,-2692 2019,-2020$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-4078380=-4078379 2-2039190=-2039188 3-1359460=-1359457 4-1019595=-1019591 5-815676=-815671 6-679730=-679724 10-407838=-407828 12-339865=-339853 15-271892=-271877 20-203919=-203899 30-135946=-135916 60-67973=-67913 101-40380=-40279 202-20190=-19988 303-13460=-13157 404-10095=-9691 505-8076=-7571 606-6730=-6124 673-6060=-5387 1010-4038=-3028 1212-3365=-2153 1346-3030=-1684 1515-2692=-1177 2019-2020=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-2020 b=2019$$

I-rewrite ang 2019x^{2}-x-2020 bilang \left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right).

$$\left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right)$$

Ï-factor out ang x sa 2019x^{2}-2020x.

$$x\left(2019x-2020\right)+2019x-2020$$

I-factor out ang common term na 2019x-2020 gamit ang distributive property.

$$\left(2019x-2020\right)\left(x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2019x-2020=0 at x+1=0.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

I-subtract ang 2020 mula sa magkabilang dulo.

$$2019x^{2}-2020=x$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2019 para sa a, -1 para sa b, at -2020 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2019\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

I-multiply ang -4 times 2019.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8076\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

I-multiply ang -8076 times -2020.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16313520}}{2\times 2019}$$

Idagdag ang 1 sa 16313520.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{16313521}}{2\times 2019}$$

Kunin ang square root ng 16313521.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±4039}{2\times 2019}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$x=\frac{1±4039}{2\times 2019}$$

I-multiply ang 2 times 2019.

$$x=\frac{1±4039}{4038}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±4039}{4038} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 4039.

$$x=\frac{4040}{4038}$$

Bawasan ang fraction \frac{4040}{4038} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{2020}{2019}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±4039}{4038} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4039 mula sa 1.

$$x=-\frac{4038}{4038}$$

I-divide ang -4038 gamit ang 4038.

$$x=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2019x^{2}-x=2020$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2019.

$$\frac{2019x^{2}-x}{2019}=\frac{2020}{2019}$$

Kapag na-divide gamit ang 2019, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2019.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x=\frac{2020}{2019}$$

I-divide ang -\frac{1}{2019}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{4038}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{4038} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{2020}{2019}+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{4038} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{2020}{2019}+\frac{1}{16305444}$$

Idagdag ang \frac{2020}{2019} sa \frac{1}{16305444} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{16313521}{16305444}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{16313521}{16305444}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16313521}{16305444}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{4038}=\frac{4039}{4038} x-\frac{1}{4038}=-\frac{4039}{4038}$$

Idagdag ang \frac{1}{4038} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$