Lutasin ang 2x^2+9x+9=0

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx+9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 9.

$$a=3 b=6$$

I-rewrite ang 2x^{2}+9x+9 bilang \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

I-factor out ang common term na 2x+3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x+3=0 at x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, 9 para sa b, at 9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

I-square ang 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 81 sa -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 9.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-9±3}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -9 sa 3.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-9±3}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 3 mula sa -9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

I-divide ang -12 gamit ang 4.

$$x=-3$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

Kapag na-subtract ang 9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}+9x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

I-divide ang \frac{9}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{9}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{9}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{9}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Idagdag ang -\frac{9}{2} sa \frac{81}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

I-subtract ang \frac{9}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$