Lutasin ang -3x^2-17x=22

$$- 3 x ^ { 2 } - 17 x = 22$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=-2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 22 mula sa magkabilang dulo.

$$-3x^{2}-17x-22=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -3x^{2}+ax+bx-22. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-17 ab=-3\left(-22\right)=66$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 66.

$$-1,-66 -2,-33 -3,-22 -6,-11$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-66=-67 -2-33=-35 -3-22=-25 -6-11=-17$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -17.

$$a=-6 b=-11$$

I-rewrite ang -3x^{2}-17x-22 bilang \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-11x-22\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-11x-22\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 11 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(-x-2\right)+11\left(-x-2\right)$$

I-factor out ang common term na -x-2 gamit ang distributive property.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+11\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang -x-2=0 at 3x+11=0.

$$x=-2 x=-\frac{11}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-3x^{2}-17x=22$$

I-subtract ang 22 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x^{2}-17x-22=22-22$$

Kapag na-subtract ang 22 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$-3x^{2}-17x-22=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -3 para sa a, -17 para sa b, at -22 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-22\right)}}{2\left(-3\right)}$$

I-square ang -17.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\left(-3\right)\left(-22\right)}}{2\left(-3\right)}$$

I-multiply ang -4 times -3.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+12\left(-22\right)}}{2\left(-3\right)}$$

I-multiply ang 12 times -22.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-264}}{2\left(-3\right)}$$

Idagdag ang 289 sa -264.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±5}{2\left(-3\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -17 ay 17.

$$x=\frac{17±5}{2\left(-3\right)}$$

I-multiply ang 2 times -3.

$$x=\frac{17±5}{-6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{17±5}{-6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 17 sa 5.

$$x=\frac{22}{-6}$$

Bawasan ang fraction \frac{22}{-6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{17±5}{-6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa 17.

$$x=\frac{12}{-6}$$

I-divide ang 12 gamit ang -6.

$$x=-2$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{11}{3} x=-2$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-17x=22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$\frac{-3x^{2}-17x}{-3}=\frac{22}{-3}$$

Kapag na-divide gamit ang -3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{17}{-3}\right)x=\frac{22}{-3}$$

I-divide ang -17 gamit ang -3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=\frac{22}{-3}$$

I-divide ang 22 gamit ang -3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{22}{3}$$

I-divide ang \frac{17}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{17}{6}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{17}{6} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{22}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{17}{6} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{22}{3}+\frac{289}{36}$$

Idagdag ang -\frac{22}{3} sa \frac{289}{36} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{25}{36}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{5}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{5}{6}$$

I-subtract ang \frac{17}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2 x=-\frac{11}{3}$$