Lutasin ang (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

I-solve ang x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Palawakin ang \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kalkulahin ang 3 sa power ng 2 at kunin ang 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Pagsamahin ang x^{2} at 9x^{2} para makuha ang 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

I-subtract ang 64 mula sa 9 para makuha ang -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Idagdag ang -55 at 1 para makuha ang -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

I-subtract ang 3x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Pagsamahin ang 10x^{2} at -3x^{2} para makuha ang 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Pagsamahin ang 6x at -9x para makuha ang -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

I-subtract ang 18 mula sa -54 para makuha ang -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 7x^{2}+ax+bx-72. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -3.

$$a=-24 b=21$$

I-rewrite ang 7x^{2}-3x-72 bilang \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

I-factor out ang common term na 7x-24 gamit ang distributive property.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 7x-24=0 at x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Palawakin ang \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kalkulahin ang 3 sa power ng 2 at kunin ang 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Pagsamahin ang x^{2} at 9x^{2} para makuha ang 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

I-subtract ang 64 mula sa 9 para makuha ang -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Idagdag ang -55 at 1 para makuha ang -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

I-subtract ang 3x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Pagsamahin ang 10x^{2} at -3x^{2} para makuha ang 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Pagsamahin ang 6x at -9x para makuha ang -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

I-subtract ang 18 mula sa -54 para makuha ang -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 7 para sa a, -3 para sa b, at -72 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

I-square ang -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -4 times 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -28 times -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Idagdag ang 9 sa 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Kunin ang square root ng 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Ang kabaliktaran ng -3 ay 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

I-multiply ang 2 times 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{3±45}{14} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 3 sa 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Bawasan ang fraction \frac{48}{14} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{3±45}{14} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 45 mula sa 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

I-divide ang -42 gamit ang 14.

$$x=-3$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Palawakin ang \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kalkulahin ang 3 sa power ng 2 at kunin ang 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Pagsamahin ang x^{2} at 9x^{2} para makuha ang 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

I-subtract ang 64 mula sa 9 para makuha ang -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Idagdag ang -55 at 1 para makuha ang -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

I-subtract ang 3x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Pagsamahin ang 10x^{2} at -3x^{2} para makuha ang 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Pagsamahin ang 6x at -9x para makuha ang -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Idagdag ang 54 sa parehong bahagi.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Idagdag ang 18 at 54 para makuha ang 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Kapag na-divide gamit ang 7, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

I-divide ang -\frac{3}{7}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{14}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{14} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{14} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Idagdag ang \frac{72}{7} sa \frac{9}{196} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Idagdag ang \frac{3}{14} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$