Lutasin ang (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

I-solve ang x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Pagsamahin ang 4x at 10x para makuha ang 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

I-subtract ang 25 mula sa 1 para makuha ang -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-24. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 14.

$$a=-4 b=18$$

I-rewrite ang 3x^{2}+14x-24 bilang \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 6 sa pangalawang grupo.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-4 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-4=0 at x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Pagsamahin ang 4x at 10x para makuha ang 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

I-subtract ang 25 mula sa 1 para makuha ang -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 14 para sa b, at -24 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 196 sa 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-14±22}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -14 sa 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{8}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-14±22}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 22 mula sa -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

I-divide ang -36 gamit ang 6.

$$x=-6$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Pagsamahin ang 4x at 10x para makuha ang 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 25 para makuha ang 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

I-divide ang 24 gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

I-divide ang \frac{14}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Idagdag ang 8 sa \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

I-subtract ang \frac{7}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$