Lutasin ang {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

I-divide ang 12 gamit ang -2 para makuha ang -6.

$$x+y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

I-subtract ang 12 mula sa 5 para makuha ang -7.

$$5x-7-4y=17$$

Idagdag ang 7 sa parehong bahagi.

$$5x-4y=17+7$$

Idagdag ang 17 at 7 para makuha ang 24.

$$5x-4y=24$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y-6$$

I-substitute ang -y-6 para sa x sa kabilang equation na 5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

I-multiply ang 5 times -y-6.

$$-5y-30-4y=24$$

Idagdag ang -5y sa -4y.

$$-9y-30=24$$

Idagdag ang 30 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=54$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=-y-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

I-multiply ang -1 times -6.

$$x=6-6$$

Idagdag ang -6 sa 6.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

I-divide ang 12 gamit ang -2 para makuha ang -6.

$$x+y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

I-subtract ang 12 mula sa 5 para makuha ang -7.

$$5x-7-4y=17$$

Idagdag ang 7 sa parehong bahagi.

$$5x-4y=17+7$$

Idagdag ang 17 at 7 para makuha ang 24.

$$5x-4y=24$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

I-divide ang 12 gamit ang -2 para makuha ang -6.

$$x+y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

I-subtract ang 12 mula sa 5 para makuha ang -7.

$$5x-7-4y=17$$

Idagdag ang 7 sa parehong bahagi.

$$5x-4y=17+7$$

Idagdag ang 17 at 7 para makuha ang 24.

$$5x-4y=24$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Para gawing magkatumbas ang x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

Pasimplehin.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

I-subtract ang 5x-4y=24 mula sa 5x+5y=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+4y=-30-24$$

Idagdag ang 5y sa 4y.

$$9y=-30-24$$

Idagdag ang -30 sa -24.

$$9y=-54$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa 5x-4y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

I-multiply ang -4 times -6.

$$5x+24=24$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-6$$