Lutasin ang {l}{10x-3y=27}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x - 3 y = 27 }\\{ 4 x + y = 2 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x-3y=27$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=3y+27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(3y+27\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times 27+3y.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}$$

I-substitute ang \frac{27+3y}{10} para sa x sa kabilang equation na 4x+y=2.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)+y=2$$

I-multiply ang 4 times \frac{27+3y}{10}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{54}{5}+y=2$$

Idagdag ang \frac{6y}{5} sa y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{54}{5}=2$$

I-subtract ang \frac{54}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{10}\left(-4\right)+\frac{27}{10}$$

I-multiply ang \frac{3}{10} times -4.

$$x=-\frac{6}{5}+\frac{27}{10}$$

Idagdag ang \frac{27}{10} sa -\frac{6}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{10-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{10-\left(-3\times 4\right)}&\frac{10}{10-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 27+\frac{3}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 27+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$4\times 10x+4\left(-3\right)y=4\times 27,10\times 4x+10y=10\times 2$$

Pasimplehin.

$$40x-12y=108,40x+10y=20$$

I-subtract ang 40x+10y=20 mula sa 40x-12y=108 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40x-40x-12y-10y=108-20$$

Idagdag ang 40x sa -40x. Naka-cancel out ang term na 40x at -40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-10y=108-20$$

Idagdag ang -12y sa -10y.

$$-22y=108-20$$

Idagdag ang 108 sa -20.

$$-22y=88$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa 4x+y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-4=2$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$