Lutasin ang {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=33$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

I-substitute ang \frac{-5y+33}{2} para sa x sa kabilang equation na x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

I-subtract ang \frac{33}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times 5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

Idagdag ang \frac{33}{2} sa -\frac{25}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

Pasimplehin.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

I-subtract ang 2x+6y=38 mula sa 2x+5y=33 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-6y=33-38$$

Idagdag ang 5y sa -6y.

$$-y=33-38$$

Idagdag ang 33 sa -38.

$$-y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x+3y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\times 5=19$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$x+15=19$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=5$$