Lutasin ang {l}{y=x+300}{0.09x+0.07y=365}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 300 } \\ { 0.09 x + 0.07 y = 365 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2150$$

$$y=2450$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=300$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-x=300$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=x+300$$

I-substitute ang x+300 para sa y sa kabilang equation na 0.07y+0.09x=365.

$$0.07\left(x+300\right)+0.09x=365$$

I-multiply ang 0.07 times x+300.

$$0.07x+21+0.09x=365$$

Idagdag ang \frac{7x}{100} sa \frac{9x}{100}.

$$0.16x+21=365$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.16x=344$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.16, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=2150$$

I-substitute ang 2150 para sa x sa y=x+300. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2150+300$$

Idagdag ang 300 sa 2150.

$$y=2450$$

Nalutas na ang system.

$$y=2450,x=2150$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=300$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.09}{0.09-\left(-0.07\right)}&-\frac{-1}{0.09-\left(-0.07\right)}\\-\frac{0.07}{0.09-\left(-0.07\right)}&\frac{1}{0.09-\left(-0.07\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5625&6.25\\-0.4375&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5625\times 300+6.25\times 365\\-0.4375\times 300+6.25\times 365\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2450\\2150\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=2450,x=2150$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=300$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

Para gawing magkatumbas ang y at \frac{7y}{100}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 0.07 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$0.07y+0.07\left(-1\right)x=0.07\times 300,0.07y+0.09x=365$$

Pasimplehin.

$$0.07y-0.07x=21,0.07y+0.09x=365$$

I-subtract ang 0.07y+0.09x=365 mula sa 0.07y-0.07x=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$0.07y-0.07y-0.07x-0.09x=21-365$$

Idagdag ang \frac{7y}{100} sa -\frac{7y}{100}. Naka-cancel out ang term na \frac{7y}{100} at -\frac{7y}{100} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-0.07x-0.09x=21-365$$

Idagdag ang -\frac{7x}{100} sa -\frac{9x}{100}.

$$-0.16x=21-365$$

Idagdag ang 21 sa -365.

$$-0.16x=-344$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -0.16, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=2150$$

I-substitute ang 2150 para sa x sa 0.07y+0.09x=365. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$0.07y+0.09\times 2150=365$$

I-multiply ang 0.09 times 2150.

$$0.07y+193.5=365$$

I-subtract ang 193.5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.07y=171.5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.07, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2450$$

Nalutas na ang system.

$$y=2450,x=2150$$