Lutasin ang {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsamahin ang y at y para makuha ang 2y.

$$x+2y=315.9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-6x=0$$

Idagdag ang 6x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=6x$$

I-substitute ang 6x para sa y sa kabilang equation na 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

I-multiply ang 2 times 6x.

$$12x+x=315.9$$

Idagdag ang 12x sa x.

$$13x=315.9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$x=24.3$$

I-substitute ang 24.3 para sa x sa y=6x. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=6\times 24.3$$

I-multiply ang 6 times 24.3.

$$y=145.8$$

Nalutas na ang system.

$$y=145.8,x=24.3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsamahin ang y at y para makuha ang 2y.

$$x+2y=315.9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsamahin ang y at y para makuha ang 2y.

$$x+2y=315.9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Para gawing magkatumbas ang y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Pasimplehin.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

I-subtract ang 2y+x=315.9 mula sa 2y-12x=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12x-x=-315.9$$

Idagdag ang -12x sa -x.

$$-13x=-315.9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$x=\frac{243}{10}$$

I-substitute ang \frac{243}{10} para sa x sa 2y+x=315.9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

I-subtract ang \frac{243}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{729}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$