Lutasin ang {l}{y=2x-4}{x+2y-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x+2y=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=-4$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x-4$$

I-substitute ang -4+2x para sa y sa kabilang equation na 2y+x=1.

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

I-multiply ang 2 times -4+2x.

$$4x-8+x=1$$

Idagdag ang 4x sa x.

$$5x-8=1$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{9}{5} para sa x sa y=2x-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

I-multiply ang 2 times \frac{9}{5}.

$$y=\frac{18}{5}-4$$

Idagdag ang -4 sa \frac{18}{5}.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x+2y=1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 1 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x+2y=1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

Para gawing magkatumbas ang y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

Pasimplehin.

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

I-subtract ang 2y+x=1 mula sa 2y-4x=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4x-x=-8-1$$

Idagdag ang -4x sa -x.

$$-5x=-8-1$$

Idagdag ang -8 sa -1.

$$-5x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{9}{5} para sa x sa 2y+x=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

I-subtract ang \frac{9}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-\frac{4}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$