Lutasin ang {l}{y=-1/2x+6}{y=1/4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { - 1 } { 2 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \approx 14.666666667$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-1}{2} bilang -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

I-substitute ang -\frac{x}{2}+6 para sa y sa kabilang equation na y-\frac{1}{4}x=-5.

$$-\frac{1}{2}x+6-\frac{1}{4}x=-5$$

Idagdag ang -\frac{x}{2} sa -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x+6=-5$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{4}x=-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{44}{3}$$

I-substitute ang \frac{44}{3} para sa x sa y=-\frac{1}{2}x+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}+6$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{44}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{22}{3}+6$$

Idagdag ang 6 sa -\frac{22}{3}.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-1}{2} bilang -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Idagdag ang \frac{1}{2}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{4}{3}\times 6-\frac{4}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{44}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-1}{2} bilang -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Idagdag ang \frac{1}{2}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

I-subtract ang y-\frac{1}{4}x=-5 mula sa y+\frac{1}{2}x=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x=6+5$$

Idagdag ang 6 sa 5.

$$\frac{3}{4}x=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{44}{3}$$

I-substitute ang \frac{44}{3} para sa x sa y-\frac{1}{4}x=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-\frac{1}{4}\times \frac{44}{3}=-5$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times \frac{44}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y-\frac{11}{3}=-5$$

Idagdag ang \frac{11}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$