Lutasin ang {l}{x+y=7}{5x+12y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=11$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=7$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+7$$

I-substitute ang -y+7 para sa x sa kabilang equation na 5x+12y=7.

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

I-multiply ang 5 times -y+7.

$$-5y+35+12y=7$$

Idagdag ang -5y sa 12y.

$$7y+35=7$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=-y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-4\right)+7$$

I-multiply ang -1 times -4.

$$x=4+7$$

Idagdag ang 7 sa 4.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=11,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Para gawing magkatumbas ang x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

Pasimplehin.

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

I-subtract ang 5x+12y=7 mula sa 5x+5y=35 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-12y=35-7$$

Idagdag ang 5y sa -12y.

$$-7y=35-7$$

Idagdag ang 35 sa -7.

$$-7y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa 5x+12y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

I-multiply ang 12 times -4.

$$5x-48=7$$

Idagdag ang 48 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=55$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=-4$$