Lutasin ang {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2b sa parehong bahagi.

$$a+2b=15$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2a sa parehong bahagi.

$$2a-5b+2a=15$$

Pagsamahin ang 2a at 2a para makuha ang 4a.

$$4a-5b=15$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$a+2b=15$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=-2b+15$$

I-substitute ang -2b+15 para sa a sa kabilang equation na 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

I-multiply ang 4 times -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Idagdag ang -8b sa -5b.

$$-13b+60=15$$

I-subtract ang 60 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-13b=-45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

I-substitute ang \frac{45}{13} para sa b sa a=-2b+15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

I-multiply ang -2 times \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Idagdag ang 15 sa -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2b sa parehong bahagi.

$$a+2b=15$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2a sa parehong bahagi.

$$2a-5b+2a=15$$

Pagsamahin ang 2a at 2a para makuha ang 4a.

$$4a-5b=15$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2b sa parehong bahagi.

$$a+2b=15$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2a sa parehong bahagi.

$$2a-5b+2a=15$$

Pagsamahin ang 2a at 2a para makuha ang 4a.

$$4a-5b=15$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Para gawing magkatumbas ang a at 4a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Pasimplehin.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

I-subtract ang 4a-5b=15 mula sa 4a+8b=60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Idagdag ang 4a sa -4a. Naka-cancel out ang term na 4a at -4a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8b+5b=60-15$$

Idagdag ang 8b sa 5b.

$$13b=60-15$$

Idagdag ang 60 sa -15.

$$13b=45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

I-substitute ang \frac{45}{13} para sa b sa 4a-5b=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

I-multiply ang -5 times \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Idagdag ang \frac{225}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4a=\frac{420}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$