Lutasin ang {l}{a+2b=29}{2a+b=17}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 29 } \\ { 2 a + b = 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} \approx 13.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$a+2b=29$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=-2b+29$$

I-substitute ang -2b+29 para sa a sa kabilang equation na 2a+b=17.

$$2\left(-2b+29\right)+b=17$$

I-multiply ang 2 times -2b+29.

$$-4b+58+b=17$$

Idagdag ang -4b sa b.

$$-3b+58=17$$

I-subtract ang 58 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3b=-41$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$b=\frac{41}{3}$$

I-substitute ang \frac{41}{3} para sa b sa a=-2b+29. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-2\times \frac{41}{3}+29$$

I-multiply ang -2 times \frac{41}{3}.

$$a=-\frac{82}{3}+29$$

Idagdag ang 29 sa -\frac{82}{3}.

$$a=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 29+\frac{2}{3}\times 17\\\frac{2}{3}\times 29-\frac{1}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{41}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

Para gawing magkatumbas ang a at 2a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2a+2\times 2b=2\times 29,2a+b=17$$

Pasimplehin.

$$2a+4b=58,2a+b=17$$

I-subtract ang 2a+b=17 mula sa 2a+4b=58 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2a-2a+4b-b=58-17$$

Idagdag ang 2a sa -2a. Naka-cancel out ang term na 2a at -2a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4b-b=58-17$$

Idagdag ang 4b sa -b.

$$3b=58-17$$

Idagdag ang 58 sa -17.

$$3b=41$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$b=\frac{41}{3}$$

I-substitute ang \frac{41}{3} para sa b sa 2a+b=17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$2a+\frac{41}{3}=17$$

I-subtract ang \frac{41}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=\frac{10}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$