Lutasin ang {l}{7x+7y=-14}{9x-8y=-69}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 7 y = - 14 } \\ { 9 x - 8 y = - 69 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+7y=-14,9x-8y=-69$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+7y=-14$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-7y-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-7y-14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -7y-14.

$$x=-y-2$$

I-substitute ang -y-2 para sa x sa kabilang equation na 9x-8y=-69.

$$9\left(-y-2\right)-8y=-69$$

I-multiply ang 9 times -y-2.

$$-9y-18-8y=-69$$

Idagdag ang -9y sa -8y.

$$-17y-18=-69$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-17y=-51$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3-2$$

Idagdag ang -2 sa -3.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+7y=-14,9x-8y=-69$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&7\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7\left(-8\right)-7\times 9}&-\frac{7}{7\left(-8\right)-7\times 9}\\-\frac{9}{7\left(-8\right)-7\times 9}&\frac{7}{7\left(-8\right)-7\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{119}&\frac{1}{17}\\\frac{9}{119}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-69\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{119}\left(-14\right)+\frac{1}{17}\left(-69\right)\\\frac{9}{119}\left(-14\right)-\frac{1}{17}\left(-69\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+7y=-14,9x-8y=-69$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$9\times 7x+9\times 7y=9\left(-14\right),7\times 9x+7\left(-8\right)y=7\left(-69\right)$$

Pasimplehin.

$$63x+63y=-126,63x-56y=-483$$

I-subtract ang 63x-56y=-483 mula sa 63x+63y=-126 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$63x-63x+63y+56y=-126+483$$

Idagdag ang 63x sa -63x. Naka-cancel out ang term na 63x at -63x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$63y+56y=-126+483$$

Idagdag ang 63y sa 56y.

$$119y=-126+483$$

Idagdag ang -126 sa 483.

$$119y=357$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 119.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 9x-8y=-69. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-8\times 3=-69$$

I-multiply ang -8 times 3.

$$9x-24=-69$$

Idagdag ang 24 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=-45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$