Lutasin ang {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+5y=-3$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-5y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -5y-3.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

I-substitute ang \frac{-5y-3}{7} para sa x sa kabilang equation na -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

I-multiply ang -9 times \frac{-5y-3}{7}.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

Idagdag ang \frac{45y}{7} sa y.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

I-subtract ang \frac{27}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{52}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

I-multiply ang -\frac{5}{7} times -2.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

Idagdag ang -\frac{3}{7} sa \frac{10}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

Pasimplehin.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

I-subtract ang -63x+7y=-77 mula sa -63x-45y=27 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

Idagdag ang -63x sa 63x. Naka-cancel out ang term na -63x at 63x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-45y-7y=27+77$$

Idagdag ang -45y sa -7y.

$$-52y=27+77$$

Idagdag ang 27 sa 77.

$$-52y=104$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -52.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa -9x+y=-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x-2=-11$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-2$$