Lutasin ang {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x-5y=-36$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=5y-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 5y-36.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

I-substitute ang \frac{5y}{6}-6 para sa x sa kabilang equation na -7x+2y=39.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

I-multiply ang -7 times \frac{5y}{6}-6.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

Idagdag ang -\frac{35y}{6} sa 2y.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

I-subtract ang 42 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{23}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{18}{23}$$

I-substitute ang \frac{18}{23} para sa y sa x=\frac{5}{6}y-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

I-multiply ang \frac{5}{6} times \frac{18}{23} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

Idagdag ang -6 sa \frac{15}{23}.

$$x=-\frac{123}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

Pasimplehin.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

I-subtract ang -42x+12y=234 mula sa -42x+35y=252 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

Idagdag ang -42x sa 42x. Naka-cancel out ang term na -42x at 42x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$35y-12y=252-234$$

Idagdag ang 35y sa -12y.

$$23y=252-234$$

Idagdag ang 252 sa -234.

$$23y=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 23.

$$y=\frac{18}{23}$$

I-substitute ang \frac{18}{23} para sa y sa -7x+2y=39. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

I-multiply ang 2 times \frac{18}{23}.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

I-subtract ang \frac{36}{23} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=-\frac{123}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$