Lutasin ang {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$6x-7y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-14y=-1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x-7y=4$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=7y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

I-multiply ang 2 times \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Idagdag ang \frac{7y}{3} sa -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

I-subtract ang \frac{4}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{35}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

I-multiply ang \frac{7}{6} times \frac{1}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa \frac{7}{30} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$6x-7y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-14y=-1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$6x-7y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-14y=-1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

I-subtract ang 12x-84y=-6 mula sa 12x-14y=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y+84y=8+6$$

Idagdag ang -14y sa 84y.

$$70y=8+6$$

Idagdag ang 8 sa 6.

$$70y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 70.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa 2x-14y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

I-multiply ang -14 times \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Idagdag ang \frac{14}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{9}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{9}{10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$