Lutasin ang {l}{6x+y=9}{3y+x=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + y = 9 } \\ { 3 y + x = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{20}{17} = 1\frac{3}{17} \approx 1.176470588$$

$$y = \frac{33}{17} = 1\frac{16}{17} \approx 1.941176471$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+y=9,x+3y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -y+9.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang -\frac{y}{6}+\frac{3}{2} para sa x sa kabilang equation na x+3y=7.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{3}{2}+3y=7$$

Idagdag ang -\frac{y}{6} sa 3y.

$$\frac{17}{6}y+\frac{3}{2}=7$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{6}y=\frac{11}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{33}{17}$$

I-substitute ang \frac{33}{17} para sa y sa x=-\frac{1}{6}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{6}\times \frac{33}{17}+\frac{3}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{6} times \frac{33}{17} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{11}{34}+\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa -\frac{11}{34} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{20}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{20}{17},y=\frac{33}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+y=9,x+3y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-1}&-\frac{1}{6\times 3-1}\\-\frac{1}{6\times 3-1}&\frac{6}{6\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{6}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 9-\frac{1}{17}\times 7\\-\frac{1}{17}\times 9+\frac{6}{17}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\\\frac{33}{17}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{20}{17},y=\frac{33}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+y=9,x+3y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6x+y=9,6x+6\times 3y=6\times 7$$

Pasimplehin.

$$6x+y=9,6x+18y=42$$

I-subtract ang 6x+18y=42 mula sa 6x+y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+y-18y=9-42$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-18y=9-42$$

Idagdag ang y sa -18y.

$$-17y=9-42$$

Idagdag ang 9 sa -42.

$$-17y=-33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=\frac{33}{17}$$

I-substitute ang \frac{33}{17} para sa y sa x+3y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\times \frac{33}{17}=7$$

I-multiply ang 3 times \frac{33}{17}.

$$x+\frac{99}{17}=7$$

I-subtract ang \frac{99}{17} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{20}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{20}{17},y=\frac{33}{17}$$