Lutasin ang {l}{6x+8y=6}{2y+3x=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 6 } \\ { 2 y + 3 x = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+8y=6$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-8y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -8y+6.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}+1 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+2y=9$$

I-multiply ang 3 times -\frac{4y}{3}+1.

$$-4y+3+2y=9$$

Idagdag ang -4y sa 2y.

$$-2y+3=9$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)+1$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -3.

$$x=4+1$$

Idagdag ang 1 sa 4.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 2-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 2-8\times 3}&\frac{6}{6\times 2-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{2}{3}\times 9\\\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 6,6\times 3x+6\times 2y=6\times 9$$

Pasimplehin.

$$18x+24y=18,18x+12y=54$$

I-subtract ang 18x+12y=54 mula sa 18x+24y=18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+24y-12y=18-54$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$24y-12y=18-54$$

Idagdag ang 24y sa -12y.

$$12y=18-54$$

Idagdag ang 18 sa -54.

$$12y=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa 3x+2y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-3\right)=9$$

I-multiply ang 2 times -3.

$$3x-6=9$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-3$$