Lutasin ang {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+3y=25.95$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-3y+25.95$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} para sa x sa kabilang equation na 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Idagdag ang -2y sa 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

I-subtract ang \frac{173}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=\frac{47}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{47}{20}$$

I-substitute ang \frac{47}{20} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{47}{20} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Idagdag ang \frac{173}{40} sa -\frac{47}{40} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{63}{20}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Pasimplehin.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

I-subtract ang 24x+36y=160.2 mula sa 24x+12y=103.8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Idagdag ang 24x sa -24x. Naka-cancel out ang term na 24x at -24x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Idagdag ang 12y sa -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Idagdag ang 103.8 sa -160.2 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-24y=-56.4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=\frac{47}{20}$$

I-substitute ang \frac{47}{20} para sa y sa 4x+6y=26.7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

I-multiply ang 6 times \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

I-subtract ang \frac{141}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{63}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{63}{20}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$