Lutasin ang {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-6y=4$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=6y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{6y+4}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

I-multiply ang 3 times \frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

Idagdag ang \frac{18y}{5} sa 7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

I-subtract ang \frac{12}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{53}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{28}{53}$$

I-substitute ang \frac{28}{53} para sa y sa x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

I-multiply ang \frac{6}{5} times \frac{28}{53} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Idagdag ang \frac{4}{5} sa \frac{168}{265} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{76}{53}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Pasimplehin.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

I-subtract ang 15x+35y=40 mula sa 15x-18y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-18y-35y=12-40$$

Idagdag ang -18y sa -35y.

$$-53y=12-40$$

Idagdag ang 12 sa -40.

$$-53y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -53.

$$y=\frac{28}{53}$$

I-substitute ang \frac{28}{53} para sa y sa 3x+7y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

I-multiply ang 7 times \frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

I-subtract ang \frac{196}{53} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{228}{53}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{76}{53}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$