Lutasin ang {l}{5x-6y=-4}{x-3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 4 } \\ { x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-6y=-4,x-3y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-6y=-4$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=6y-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 6y-4.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{6y-4}{5} para sa x sa kabilang equation na x-3y=-1.

$$\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-3y=-1$$

Idagdag ang \frac{6y}{5} sa -3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{4}{5}=-1$$

Idagdag ang \frac{4}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{9}{5}y=-\frac{1}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1}{9}$$

I-substitute ang \frac{1}{9} para sa y sa x=\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{1}{9}-\frac{4}{5}$$

I-multiply ang \frac{6}{5} times \frac{1}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{15}-\frac{4}{5}$$

Idagdag ang -\frac{4}{5} sa \frac{2}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{1}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-6y=-4,x-3y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{9}\left(-4\right)-\frac{5}{9}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{1}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-6y=-4,x-3y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$5x-6y=-4,5x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$5x-6y=-4,5x-15y=-5$$

I-subtract ang 5x-15y=-5 mula sa 5x-6y=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x-6y+15y=-4+5$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y+15y=-4+5$$

Idagdag ang -6y sa 15y.

$$9y=-4+5$$

Idagdag ang -4 sa 5.

$$9y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=\frac{1}{9}$$

I-substitute ang \frac{1}{9} para sa y sa x-3y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-3\times \frac{1}{9}=-1$$

I-multiply ang -3 times \frac{1}{9}.

$$x-\frac{1}{3}=-1$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{1}{9}$$