Lutasin ang {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+y=9.95$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-y+9.95$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

I-substitute ang -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} para sa x sa kabilang equation na 6x+6y=18.6.

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

I-multiply ang 6 times -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

Idagdag ang -\frac{6y}{5} sa 6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

I-subtract ang \frac{597}{50} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{24}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{111}{80}$$

I-substitute ang \frac{111}{80} para sa y sa x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{111}{80} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

Idagdag ang \frac{199}{100} sa -\frac{111}{400} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{137}{80}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

Pasimplehin.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

I-subtract ang 30x+30y=93 mula sa 30x+6y=59.7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

Idagdag ang 30x sa -30x. Naka-cancel out ang term na 30x at -30x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-30y=59.7-93$$

Idagdag ang 6y sa -30y.

$$-24y=59.7-93$$

Idagdag ang 59.7 sa -93.

$$-24y=-33.3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=\frac{111}{80}$$

I-substitute ang \frac{111}{80} para sa y sa 6x+6y=18.6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

I-multiply ang 6 times \frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

I-subtract ang \frac{333}{40} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=\frac{411}{40}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{137}{80}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$