Lutasin ang {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+3y=450$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-3y+450$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

I-substitute ang -\frac{3y}{5}+90 para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Idagdag ang -\frac{9y}{5} sa 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

I-subtract ang 270 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{5}y=143$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=65$$

I-substitute ang 65 para sa y sa x=-\frac{3}{5}y+90. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

I-multiply ang -\frac{3}{5} times 65.

$$x=-39+90$$

Idagdag ang 90 sa -39.

$$x=51$$

Nalutas na ang system.

$$x=51,y=65$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=51,y=65$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Pasimplehin.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

I-subtract ang 15x+20y=2065 mula sa 15x+9y=1350 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-20y=1350-2065$$

Idagdag ang 9y sa -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Idagdag ang 1350 sa -2065.

$$-11y=-715$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=65$$

I-substitute ang 65 para sa y sa 3x+4y=413. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\times 65=413$$

I-multiply ang 4 times 65.

$$3x+260=413$$

I-subtract ang 260 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=153$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=51$$

Nalutas na ang system.

$$x=51,y=65$$