Lutasin ang {l}{5x+3y=15}{2x-2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16} = 2.4375$$

$$y=\frac{15}{16}=0.9375$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+3y=15$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-3y+15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -3y+15.

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

I-substitute ang -\frac{3y}{5}+3 para sa x sa kabilang equation na 2x-2y=3.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)-2y=3$$

I-multiply ang 2 times -\frac{3y}{5}+3.

$$-\frac{6}{5}y+6-2y=3$$

Idagdag ang -\frac{6y}{5} sa -2y.

$$-\frac{16}{5}y+6=3$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{16}{5}y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{16}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{15}{16}$$

I-substitute ang \frac{15}{16} para sa y sa x=-\frac{3}{5}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{15}{16}+3$$

I-multiply ang -\frac{3}{5} times \frac{15}{16} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{9}{16}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{9}{16}.

$$x=\frac{39}{16}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 15+\frac{3}{16}\times 3\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{5}{16}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{16}\\\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

Pasimplehin.

$$10x+6y=30,10x-10y=15$$

I-subtract ang 10x-10y=15 mula sa 10x+6y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+6y+10y=30-15$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y+10y=30-15$$

Idagdag ang 6y sa 10y.

$$16y=30-15$$

Idagdag ang 30 sa -15.

$$16y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$y=\frac{15}{16}$$

I-substitute ang \frac{15}{16} para sa y sa 2x-2y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-2\times \frac{15}{16}=3$$

I-multiply ang -2 times \frac{15}{16}.

$$2x-\frac{15}{8}=3$$

Idagdag ang \frac{15}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{39}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{39}{16}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$