Lutasin ang {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=3$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+3}{5} para sa x sa kabilang equation na 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

I-multiply ang 12 times \frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

Idagdag ang -\frac{24y}{5} sa 7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

I-subtract ang \frac{36}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{26}{11}$$

I-substitute ang -\frac{26}{11} para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times -\frac{26}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

Idagdag ang \frac{3}{5} sa \frac{52}{55} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{17}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 12x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 12 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

Pasimplehin.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

I-subtract ang 60x+35y=10 mula sa 60x+24y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

Idagdag ang 60x sa -60x. Naka-cancel out ang term na 60x at -60x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$24y-35y=36-10$$

Idagdag ang 24y sa -35y.

$$-11y=36-10$$

Idagdag ang 36 sa -10.

$$-11y=26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

I-substitute ang -\frac{26}{11} para sa y sa 12x+7y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

I-multiply ang 7 times -\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

Idagdag ang \frac{182}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x=\frac{204}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=\frac{17}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$